Теренс Тао: самые сложные задачи в математике, физике и будущее ИИ | Подкаст Лекса Фридмана #472

Коротко

Терренс Тао проводит экскурсию по своим главным сюжетам: гипотеза Какэи и её связь с уравнениями Навье–Стокса, идея «водяного компьютера фон Неймана», который математически вызывал бы взрыв за конечное время, и фундаментальная дихотомия «структура vs случайность», лежащая под гипотезой близнецов, Гольдбахом и Риманом. Параллельно, рабочая практика: язык формализации Lean уже масштабирует совместную математику (проект на 22 миллиона задач по теории эквациональной алгебры, около 50 авторов), а ИИ пока работает как «не уверенный в себе аспирант», без чувства запаха ошибки. Тао предсказывает первую серьёзную исследовательскую статью с соавторством ИИ к 2026 году, но не Филдсовского уровня. Объясняет, почему доказательство Перельмана о гипотезе Пуанкаре было превращением суперкритической задачи в критическую через «приведённый объём», приём, недоступный ИИ. Сквозная мысль: математика, редкая дисциплина, в которой идёшь от гипотез к выводам, а не наоборот, и где можно «менять правила» как чит-коды.

Главный тезис

Прогресс в математике происходит на стыке областей и через тонкое преодоление «барьеров», паритета, критичности, случайности. Следующий рывок обеспечит не один гений, а симбиоз формальных систем (Lean), коллективной работы и ИИ, который снимет рутину, но пока не заменяет интуицию.

Ключевые идеи

• 0:49, самые ценные задачи лежат на самой границе решаемого: метод даёт 90%, последние 10%, ловушка, в которой и происходит прорыв.
• 2:31, гипотеза Какэи в 3D: можно ли повернуть иглу на 180° через сколь угодно малый объём; связана с тем, можно ли упаковать световые трубки так, чтобы получился amply wave, патологическая концентрация энергии.
• 9:17, демон Максвелла как структурное препятствие: мы не можем доказать невозможность аномалий, потому что любая теория случайности крайне трудна, «отсутствие закономерности», самая тяжёлая теорема.
• 9:22, пример с кислородом и азотом показывает: статистически смесь не разделяется обратно, но математически исключить это невозможно.
• 12:53, наивная попытка спасти Навье–Стокса через сохранение энергии не работает: за этим стоит барьер критичности уравнения.
• 54:08, два стиля математиков: «ёж», глубокий специалист в одной теме, «лис» знает обо всём понемногу и переносит инструменты между областями; Тао относит себя к лисам.
• 1:15:56, личный пример: калибровочное преобразование для волновых карт пришло во время визита к тёте, стабилизация потока как сетки камер, при которой нелинейность становится почти линейной.
• 1:24:59, текущая роль ИИ в Lean, умное автодополнение; кардинального скачка нет, но последние 10–20% перехода к рутинному использованию Lean решат всё.
• 1:59:54, Lean+ИИ снимают порог входа в экспериментальную математику: то, что раньше занимало 2 часа кода с багами, делается за 10–15 минут.
• 2:12:40, рабочая тактика: «магическое допущение», постулировать отсутствие сложного случая, чтобы проверить, сработает ли остальная стратегия.
• 2:53:13, формализация Великой теоремы Ферма Кевином Баззардом упирается не в саму теорему, а в «чёрный ящик» теории чисел 80-х годов, написанной плотно и без подробностей.
• 2:30:22, барьер паритета: ни один из существующих методов теории чисел не различает простые и почти-простые числа достаточно тонко, чтобы доказать гипотезу близнецов.
• 12:11, сценарий взрыва за конечное время: энергия передаётся со шкалы на шкалу с ускорением, и пока эффект вязкости не успевает её рассеять, концентрируется в точку.
• проект эквациональных теорий в Lean: 22 млн задач об абстрактной алгебре, ~50 авторов, осталось 2 нерешённые задачи; без Lean было бы невозможно, никто не проверит 22 млн доказательств вручную.
• 3:13:02, социокультурное наблюдение: коллективный человеческий интеллект в инфраструктуре может быть мудрее любого отдельного гения, если культура здорова.

Почему это важно

Тао, действующий лауреат Филдсовской премии и один из ведущих живых математиков; он одновременно работает на острие нерешённых задач тысячелетия (Навье–Стокса, Риман, близнецов, Коллатц) и публично двигает индустрию к рабочей связке Lean + ИИ. Выигрывают: разработчики ассистентов доказательств (Lean/Mathlib, GitHub Copilot, AlphaProof DeepMind), академические гранты на формализацию (пятилетний грант Баззарда на Ферма), исследователи в смежных областях, использующие крупные совместные проекты типа Polymath. Проигрывают: одиночный стиль работы à la Перельман, классические рецензенты, для которых формализованная статья делает их часть работы тривиальной, и криптография, если Риман окажется ложной, многие криптосистемы под угрозой.

Идеи

• Безикович доказал, что иглу можно повернуть в сколь угодно малой двумерной области через каскад мелких хитрых разворотов
• Институт Клэя поставил по миллиону долларов за каждую из семи задач тысячелетия; решена пока только гипотеза Пуанкаре
• В трёх измерениях Навье–Стокса задача критическая: вязкость и конвекция равны на всех масштабах, и неизвестно, побеждает ли одна другую
• Тао построил искусственную модель, в которой энергия осциллирует одновременно на шкале и переходит на следующую только после завершения операции, рукотворный взрыв
• В работе с одной осреднённой моделью Тао советовался с женой-электротехником о схемах резисторов и конденсаторов
• Игра «Жизнь» Конвея содержит самовоспроизводящиеся машины, конструкции для глайдеров с логическими элементами AND/OR
• Аналог фон Неймана: машина-репликатор должна порождать уменьшенную и ускоренную копию себя, тогда итерации создают взрыв за конечное время
• Универсальность: гауссова кривая возникает из независимости многих случайных вкладов, центральная предельная теорема
• Кризис 2008, пример провала универсальности: предполагалось, что дефолты по ипотеке гауссовы, но они системно скоррелированы
• Декарт сделал революцию, связав алгебру и геометрию через координаты, типичный пример прорыва на стыке областей
• Эйнштейн взял уже готовую геометрию Римана для общей теории относительности, пример «необоснованной эффективности математики» по Вигнеру
• Гамильтониан был скрыт в ньютоновой механике и стал центральным в квантовой, переход требует найти правильный центральный концепт
• Конвей мыслил доказательства как облако: множество вариантов с координатами «элегантность», «короткость» и т.д.; писать математику, это оптимизация в этом пространстве
• В коде есть Code Golf, стресс-тест языка через минимизацию; математические доказательства имеют аналогичные эстетические критерии
• Аспирантская история Тао с Беном Грином: каждый думал, что у второго есть недостающий кусочек, оба ошибались, но взаимная иллюзия родила теорему
• Polymath проект пробовал псевдоним D.H.G. Polymath для группы из 20 человек, провалился, так как без именных авторов статью нельзя использовать в продвижении
• В Lean можно изменить константу с 12 на 11 в основной теореме, и компилятор покажет точные тысячу строк, требующие правки, рефакторинг становится возможным
• ИИ-генерируемые доказательства имеют скрытые ошибки: текст выглядит правильно, но 0,1% утверждений ложь, обнаружить которую сложнее, чем найти грубую человеческую ошибку
• AlphaProof потратил трое суток вычислений Google на одну олимпиадную задачу, впечатляюще, но не масштабируется на исследовательскую математику
• Тао потратил два года на доказательство после того, как обнаружил пропущенный 13-й член в строке 6 на странице 27 первоначальной 12-членной оценки
• Гипотеза близнецов сводится к принципу Дирихле, но плотность простых слишком мала, нужно вытянуть до 50%
• Сейчас доказано: бесконечно много пар простых на расстоянии не более 246, точное число снижалось рекордными работами
• Тао статистически показал, что 99% последовательностей Коллатца достигают почти нуля, но это не исключает редкую антистатистическую орбиту
• Гипотеза Коллатца, по Конвею, через Fractran оказывается Тьюринг-полной для более общих итераций, отсюда подозрение, что общий случай неразрешим
• Перельман превратил суперкритическую задачу о потоке Риччи в критическую через введение «приведённого объёма» и энтропии Перельмана
• Дядя Тао заглянул в комнату, когда тот выкручивал в воздухе руками невидимое векторное поле, и спросил: «ты что делаешь?»
• Стив Джобс, как Перельман: один символ для огромной команды инженеров; нарратив требует имени
• Кабинет Эндрю Уайлса в Принстоне после доказательства Ферма был завален почтой до пола
• Тао считает, что эволюция не дала мозгу математического центра, мы делегируем на зрительный, языковой, моторный
• Структурированная прокрастинация: подменяй задачу А задачей Б, чтобы избежать ещё худшей В
• Грант Сандерсон и Тао сделали видео о том, как Эратосфен измерил Землю, пример «воссоздай Грецию у себя дома»

Инсайты

• Структура vs случайность, фундаментальная дихотомия математики: объект либо демонстрирует структуру (тогда нужно найти алгебраический источник), либо случаен (тогда работают вероятностные методы); промежуточные случаи самые тяжёлые
• Прогресс достигается разделением и объединением дисциплин: разрыв алгебры и геометрии у греков → объединение Декартом → алгебраическая геометрия; математика дышит этим циклом
• Математика уникальна: идёт от аксиом к следствиям, а не от цели к средствам, как инженерия, отсюда возможность «менять правила» как чит-коды
• Полезность модели, не в её точности, а в отношении точности к числу параметров: 14 параметров Стандартной модели на петабайты данных, почти чудо
• «Запах» правильности, то, чего пока не хватает ИИ: математик отличает чушь не по логике, а по интуиции; формальные системы могут это компенсировать сертификатом
• Барьеры в математике (паритет, критичность), знаки того, что класс существующих методов исчерпан; их преодоление требует не улучшения техники, а смены парадигмы
• Психология часто важнее техники: блокирует не неумение, а неготовность попробовать что-то заведомо неоптимальное, «I'm not even going to try»
• Совместная математика возможна только при общем сертификате доверия, Lean даёт его автоматически, что делает работу с незнакомцами и тысячными командами реальной
• ИИ ускорит математику не через генерацию доказательств, а через снижение цены экспериментов: исследования, которые требовали недель кода, делаются за минуты
• Идеализация (предел, бесконечность, нуль) парадоксальна: уход от реальности упрощает анализ; реальный мир конечен, но математика конечного сложнее математики бесконечного
• Великие достижения обычно персонализируются: общество не справляется с распределённым нарративом и приписывает их одному лицу, упрощает рассказ, но искажает истину
• Адаптивность важнее накопленной экспертизы: в эпоху быстрого изменения инструментов умение быть новичком становится профессиональным навыком даже у филдсовцев
• Карьерные премии (Филдс) затягивают в establishment-петлю: меньше времени на одну задачу, больше на медийность, грантовые комитеты, представительство, приходится сознательно говорить «нет»

Фреймворки

• Три онтологии науки: реальный мир, наблюдения, модели; наука эволюционирует, сокращая зазоры между ними, но между двумя из трёх всегда есть разрыв
• Критичность уравнений: суперкритические (нелинейность доминирует на малых масштабах, Навье–Стокса в 3D), критические (баланс), субкритические (диссипация побеждает, Навье–Стокса в 2D); только последние два разрешимы стандартными методами
• Ёж и лис (по Берлину): «ёж» знает одну тему глубоко, «лис», многое мелко; идеальная экосистема требует обоих, плюс гибридов
• Дихотомия структура/случайность: для каждого свойства объекта либо находим алгебраическую причину, либо доказываем статистически; третьего почти не дано
• Уровни сертификации научного вклада (CRediT-подобная схема в проекте Тао): 12 категорий участия, программирование, генерация данных, теория, написание и т.д., заменяют традиционный «первый автор / последний автор»

Цитаты

«Что нужно просто учесть закон сохранения энергии», 12:53

«Бывают ряды, что сходятся к одному значению, но переставив слагаемые, они сходятся уже к другому значению», 36:39

«Бесконечные решения обычно находят на десятилетия раньше, а потом их уже финитизируют», 38:02

«Вспомните Ижа и Лиса. Лис знает обо всем понемногу, а Йош эксперт в одной теме», 54:08

«Это преобразование я придумал, будучи у тети в Австралии», 1:15:56

«ИИ начали использовать как надстройку. В основном как умное автодополнение», 1:24:59

«Меня раздражает кодить на Python, because I'm not a professional», 1:59:54

«Можно пойти на хитрость, и если что-то мешает, допустим, какой-то сложный случай, все время вылезает и ломает твой метод. Можно попросту постулировать, что его не существует», 2:12:40

«Включить такое волшебное допущение, но стратегически, чтобы проверить, сработает ли доказательство», 2:12:54

«Это совсем другая область, нежели математика, которой занимаюсь я», 2:53:13

«А с компьютерами я не был на „ты", чтобы проводить моделирование», 1:16:03

«Любое достижение кто-то превращает в одно мнение, другое в противоположное, а потом они спорят до хрипоты», 3:13:02

«Сделать шаг назад и принять то, какую красоту создают люди», 3:13:13

«Mathematics is the language, which God has written in the universe», 3:14:15 Математика, это язык, на котором Бог написал Вселенную

Факты

• Гипотеза Какэи в 3D, над которой работал Тао: о ней есть доказательство в одной из соседних версий (для конкретного аналога), опубликованное недавно после большой работы
• Институт Клэя поставил 7 задач тысячелетия по миллиону долларов каждая; решена пока только гипотеза Пуанкаре (Перельман)
• Тао совместно с Беном Грином доказал, что в простых числах есть арифметические прогрессии любой длины (теорема Грина–Тао)
• В работе 2016 года Тао построил искусственную систему уравнений, дающую взрыв за конечное время с сохранением законов физики, кроме отдельных взаимодействий
• Лучший известный результат по разрыву между простыми-близнецами: не более 246 (рекордная цепочка работ после Чжана)
• Проект эквациональных теорий: 4694 закона, ~22 миллиона пар-задач (4694²), ~50 авторов, осталось 2 нерешённые задачи на момент интервью
• Кевин Баззард получил пятилетний грант на формализацию Великой теоремы Ферма в Lean
• Стандартная модель физики содержит 14 параметров и объясняет петабайты астрономических наблюдений
• AlphaProof DeepMind на олимпиадных задачах: трое суток вычислений Google на одну задачу, золотомедальный уровень при формальном Lean-выводе
• Перельман отказался от Филдсовской медали и миллиона долларов от Института Клэя; по слухам, собирает грибы в России (Тао не уверен)
• Формализация в Lean сейчас занимает в 10 раз больше времени, чем рукописное доказательство, но прогноз, снижение до x1 в обозримом будущем
• Группа Тао в 2016-м потратила дополнительные 2 года на одну теорему из-за пропущенного 13-го члена в строке 6 на странице 27 первой версии
• Тао в интервью назвал прогноз: первая исследовательская статья с ИИ-соавтором, 2026 год, не Филдсовского уровня

Источники

• Бизикович, доказательство возможности поворота иглы в сколь угодно малой плоскости
• Гамильтон Ричард, поток Риччи; Перельман Григорий, приведённый объём и энтропия
• Конвей Джон, игра «Жизнь», концепция «облака доказательств», Fractran
• Декарт, аналитическая геометрия
• Эйлер, тождество $e^{i\pi}+1=0$, экспонента, теория чисел
• Эратосфен, измерение Земли; видео с Грантом Сандерсоном (3Blue1Brown)
• Семереди Андрей, теорема об арифметических прогрессиях в плотных множествах
• Уайлс Эндрю, доказательство Великой теоремы Ферма; Баззард Кевин, формализация в Lean
• Шольц Питер, формализация конденсированной математики, толчок к интересу Тао к Lean
• Гауэрс Тим, коллега Тао, теория случайности/структуры
• Бурген Жан, лауреат Филдса, работы по гармоническому анализу
• Конроевич Алекс, клеточные итерации для гипотезы Коллатца
• Эрдёш Пауль, фраза «математика ещё не готова к Коллатцу»
• Wigner Eugene, статья «Необоснованная эффективность математики»
• Bourbaki Nicolas, псевдоним группы математиков как прецедент для D.H.G. Polymath
• Инструменты: Lean, Mathlib, GitHub Copilot, AlphaProof (DeepMind), MathOverflow, Wolfram Alpha

Рекомендации

• Для начинающих: смотреть YouTube-видео, заходить на форумы со школьной/олимпиадной математикой; не ждать «правильного» преподавателя, мозг каждого инсталлирует математику в свой собственный набор когнитивных центров
• Для продвинутых: пробовать Lean даже без формализационного бэкграунда, порог входа для тех, кто уже умеет программировать, ниже, чем для классических математиков
• Универсальный совет от Тао: при ступоре «I'm not even going to try», пробуйте любое действие, пусть глупое; даже отрицательный результат даёт гипотезу
• Структурированная прокрастинация: подменяйте более тяжёлую задачу средней, чтобы избежать прокрастинации на самой тяжёлой

Итог

Структура и случайность, два полюса математики. Следующий шаг, научиться двигаться между ними не в одиночку и не вручную, а в формальном симбиозе с ИИ.